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「４から９まで何個あるか？」の教え方

「おはじきが並んでいます。左から４番目から９番目までを取りました。何個取ったでしょう？」

これを皆さんはどうやって教えるでしょうか？

よく見られる教え方 †

私が知る限りでは、小学校では多くの場合、最終的に以下の式で教えられると思います。

\( 9-4+1=6 \)

最後の"+1"をどう教えるのか、ここがミソになるでしょう。
しかし、ここで論じたいのは、良い"+1"の教え方ではありません。

この立式はよくないのでは？と言いたいです。

私の提案する教え方 †

最終的に、以下の式になるよう、教えるべきだと私は考えています。

• 1つの式ならば\( 9-(4-1)=6 \)
• 2つの式ならば\( 4-1=3,~~9-3=6 \)

イメージとしては、以下です。

つまり、9個から、4番目の手前までを取り除く。

なぜ、この教え方を薦めるか？ †

2つあります。

まず、私には、"+1"の意味を教えるより、「4個目の手前までを取り除く」のイメージを教える方が簡単ではないかと思うからです。
たとえば「9個は多すぎるね。何個多いだろう？」と問えば、一定数の子どもは正しい式・解答に自力でたどり着けるでしょう。

そしてもう一点。この教え方ならば高校数学に繋がるのです。たとえば、次の値はいくつでしょう？

\( 4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2 (=\sum_{k=4}^9 k^2) \)

普通、この計算は\( \sum_{k=1}^n k^2 =1^2 +2^2+3^2 \cdots +n^2=\frac16 n(n+1)(2n+1) \)を用い、以下のように行います。

\( 4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2 \)
\( =(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2)-(1^2+2^2+3^2) \)
\( =\frac 16 \cdot 9\cdot 10\cdot 19 - \frac 16 \cdot 3\cdot 4\cdot 7=271 \)

これはまさに「\( 4^2 \)の手前までを取り除く」なのです。

私の経験では、この計算のやり方を高校生に教えるには一手間かかります。\( \sum \)記号に不慣れなことも重なり、混乱しやすいのですね。
ですから、まず、「4から9まで整数は何個あるか？」という簡単な問いで\( 9-(4-1)=6 \)を理解させた後、説明します。

小学校の段階で\( 9-(4-1)=6 \)のやり方に慣れていれば、この手間はかからないのですが、特に中学受験の参考書を筆頭に、"+1"をあたかも公式のように教えます。これは、なんとかならないものか、とずっと思っています。

最後に †

例題です。
「9人が一列に並んでいます。左から4番目の人は、右から何番目でしょう。」

右から数えていくと、左の3人を数えませんよね。ですから、やはり\( 9-(4-1)=6 \)であり、答は「6番目」です。

小学校の算数での教え方が、早くこのやり方で統一されないかな、と思っています。